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Utilisé dans le domaine des mathématiques et plus précisément de l’algèbre linéaire, le terme matrice inversible désigne une matrice dont le déterminant est non nul. Pour faire simple, il s’agit d’une matrice dont la particularité est de permettre l’existence d’un inverse. Plus de détails dans cet article.
Calcul matriciel : généralités
Avant tout toute chose, il faut rappeler que la notion de matrice inversible ne s’applique qu’aux matrices carrées, ce qui signifie qu’elle possède un nombre égal de colonnes et de lignes.
Ainsi, en considérant une matrice carrée A d’ordre n, on retiendra que celle-ci est inversible (régulière ou non singulière) dès lors qu’une matrice carrée B d’ordre n, existe. Dans ce cas, B sera identifié comme étant la matrice inverse de A, et sera désigné :. On en déduit donc un rapport de double égalité entre A et B noté : AB = BA = In, sachant que In désigne la matrice d’ordre n.
En outre, il faut noter que la condition sine qua non du critère d’inversibilité dans le calcul matriciel est le fait que le déterminant soit non nul, autrement dit, qu’il n’est pas égal à 0. Dans le cas contraire, la matrice carrée sera considérée comme singulière ou non inversible.
Méthode de calcul de l’inverse d’une matrice 3×3 par la méthode des cofacteurs
Après avoir pris soin de vérifier que la matrice est bel et bien carrée (avec 3 colonnes et 3 lignes), l’on procédera comme suit.
- Commencez par le calcul des cofacteurs
Du fait de sa simplicité, la méthode la plus indiquée dans un processus de calcul d’une matrice inversible de petite dimension est de calculer les cofacteurs. Cette étape est essentielle pour trouver le déterminant de la matrice A.
- Recherchez le déterminant
Pour trouver le déterminant, il suffira d’ajouter les cofacteurs des éléments situés au niveau de la première ligne de la matrice. Il faut noter que le calcul du déterminant est possible avec n’importe quelle matrice, tant que celle-ci est carrée.
- Assurez-vous que le déterminant est bel et bien non nul (différent de zéro)
On rappelle ici que l’inverse d’une matrice ne peut être considéré comme tel, si son déterminant est nul. Il est donc essentiel de procéder à cette vérification avant de continuer avec votre calcul.
- Construisez la matrice des cofacteurs et procédez à la transposition des colonnes et des lignes
Il faut noter que la construction de la matrice des cofacteurs ne pourra être possible que si l’étape précédente a permis de confirmer que le déterminant n’est pas nul. Après cela, il faudra ensuite transposer les lignes et les colonnes.
- Procédez à la division de la matrice
En divisant chaque élément de la matrice transposée par le déterminant, vous pourrez ainsi trouver votre matrice inversible, qui ne sera autre que l’inverse de la celle de départ.
Autres méthodes de calcul pour inverser une matrice
Outre la méthode des cofacteurs passant par l’établissement d’une matrice adjointe, il existe d’autres possibilités de calcul tout aussi simple. Il s’agit entre autres de :
- La réduction linéaire par rangée
La réduction linéaire se fait ici en utilisant l’algorithme de Gauss-Jordan. Il s’agira donc de passer ainsi par une succession d’itérations pour faire apparaître la matrice inversible.
- L’utilisation d’une calculette graphique
Avant d’utiliser cette méthode de calcul de matrice inverse, assurez-vous de disposer d’une calculatrice qui propose des fonctions matricielles et d’avoir un minimum de maitrise de ce type de machine.
Par ailleurs, tout en gardant à l’esprit la formule « ab – cd est différent de zéro », sachez qu’il est également possible de calculer une inverse matrice avec la méthode des cofacteurs.
